啟動數學腦這樣學：43則活化思考、提升數感的實用趣味題

培養敏銳的數學感受，數學力輕鬆UP！

「理解並分析生活情境中的數學問題」是數學素養的重要訴求，

面對日常生活中無所不在的數學，你的數學腦開始運轉了嗎？

 

日本高人氣的數學教官帶領你看見日常中大大小小的數學題，

並加以清楚分析，藉此鍛鍊邏輯、活化思考，

就能順利啟動數學腦，從「為何如此」到「原來如此」，有感體會數學美妙：

→影印機為何會有「141.4%」這種尷尬的放大倍數設定？

→拍團體照時，要拍幾張才能得到所有人都沒閉眼的照片？

→「10%折扣」跟「10%回饋點數」哪種較划算？兩者的差別在哪？

→東京晴空塔不是「黃金比例」，而是受日本人歡迎的「白銀比例」！

→車速不同時，應該各自保持多長的安全行車距離與剎車距離？

→電動遊戲中的最大值為何會出現「255」、「65535」這種微妙的數字？

→懂得計算房貸的支付總額，就能判斷何時是買房的好時機！

→「老鼠會」的騙局，只要利用方程式就能輕易拆穿！

→即使去除了90%的臭味，為何人們還是聞得到？

→職棒投手投球的瞬間速度、和飛機起飛的瞬間速度，可以透過微分算出！

→怎樣能精準算出「十年難得一見的美女」出現的機率？

 

透過43則趣味題的實際練習，將大大拉近你與數學的距離，

你也可以自行發現更多日常中的數學樂趣！

 

 

審訂│

游森棚（臺灣師範大學數學系教授）

 

推薦│

李信昌（數學網站「昌爸工作坊」站長）

賴以威（臺灣師範大學電機系助理教授、數感實驗室共同創辦人）

 

「原來數學就隱身在身邊熟悉的日常生活裡，作者將它挖掘出來，並用淺顯易懂的說明，解釋如何應用數學來處理這些日常事務，所列舉的實例可以作為中小學數學素養導向的教材。」──李信昌（數學網站「昌爸工作坊」站長）

日本海上自衛隊數學教官  

佐佐木 淳

1980年，出生於宮城縣仙台市。自東京理科大學理學部第一部數學科畢業後，完成東北大學大學院理學研究科數學專攻的課程。擔任防衛省海上自衛隊數學教官，取得數學檢定一級。從大學時期開始，便在WASEDA ACADEMY累積教學經驗，使用強調從會的問題開始「帶領解題」、讓學生反覆演練「鼓勵解題」，並以「稱讚」的山本五十六式來教導所負責的國中二年級低段班學生，培養他們的自信，學生們的表現超越每年考上開成、早慶附屬學校資優班的平均分數。目前為代代木研討會最年輕的講師。在海上自衛隊擔任數學教官，教授飛行預備官的通識課程，其貢獻受到肯定，因此獲得事務官等(事務官、技官、教官)三官的榮譽頭銜(※)。

※授予職務有特殊功績者，或是技術方面有卓越發明者的獎項。

5-3 利用「指數函數」就能拍到「都沒人閉眼的團體照」

讓人會心一笑的搞笑諾貝爾獎，因模仿諾貝爾獎而聞名，與真正的諾貝爾獎不同的是，它有數學獎。我們就來介紹2006年獲得搞笑諾貝爾獎數學獎的「Blink-free photos, guaranteed(拍張沒有人閉眼的照片)」。

拍團體照時，常會有人不小心眨眼睛，而這個研究就是為了要導出「需要拍多少張才能拍出沒有人閉眼的照片」公式而做的實驗。

把團體照的人數設為n，把因為有人眨眼而浪費掉的時間設為t，假設眨眼次數為x，那麼要拍出沒有人眨眼的照片，只要拍

1/(1-xt)ⁿ (次)

就可以了。

此公式能算出「拍好的照片所需的次數」。那麼假設這個公式是成立的，那麼請想想「只拍一個人」會是如何。條件是：

「人一分鐘眨眼的次數(=60秒鐘)是20次左右」以及

「平均眨眼的時間是300毫秒(=0.3秒)」的話。

在光線明亮的地方拍照，按下相機快門的時間「約8毫秒」，在光線暗的地方拍照，按下相機快門的時間則是「約125毫秒」，加上「眨眼時間」後，設定「因眨眼而浪費掉的拍照時間(t)」，然後簡化成「因眨眼而浪費掉的拍照時間(t)=眨眼時間」。由條件得知，

假設1秒鐘的眨眼次數是 20/60 = 1/3(次)，所以

按下相機快門時，眨眼的機率就是，

(眨眼預設次數：x)×(眨眼時間：t)

= 1/3 X 0.3 = 0.1

按下快門時沒眨眼的機率則是以整體的1(=100%)減去，

1-xt

= 1-0.1 = 0.9

從此結果得知，要拍到沒有眨眼照片的所需次數是，

1/1-xt

= 1/0.9 = 10/9

= 1.11111... (次)

因此，只拍一個人的話，大概一兩次就可以拍好。

人數越多，9個人、12個人、15個人…，就要用n=9、n=22、n=15來計算。實際來算看看吧！

●9個人一起拍(n=9)

1/(1-xt)⁹

= 1/0.9⁹

= 1/0.387420489...

= 2.5811747917...

由此可知，大概拍三張就可以了。

 

●12個人一起拍(n=12)

1/(1-xt)¹²

= 1/0.9¹²

= 1/0.28249365...

=3.5407061614...

大概拍四張就可以了。

 

●15個人一起拍(n=15)

1/(1-xt)¹⁵

= 1/0.9¹⁵

= 1/0.205891132...

= 4.8569357496...

差不多拍五張就好了。

 

其實在「Blink-free photos, guaranteed」論文中，也提到了以前面公式為基礎，能更簡單算出「要拍幾張才可以」的方法。

●20人以下的團體照

團體照人數÷3(但在光線較暗處的團體照，人數÷2)。

例

9人：9÷3=3(張)

12人：12÷3=4(張)

15人：15÷3=5(張)

大概只要拍上面計算出的張數，就能拍到沒人眨眼的照片。這是從數據所導出的有趣公式，只要拍這些張數，就可以拍到充滿回憶的照片了。

前言

第1章　不再感到困惑！「數」之疑問

1-1 飛彈巡洋艦「約克城號」為何會系統停機呢？

1-2  《兒時的點點滴滴》的妙子為何不懂分數的除法呢？

1-3 0.1秒就能算出淘汰賽的比賽次數？

第2章　隱藏在身邊的「平方根」

2-1 影印機之所以有「141.4%」這種尷尬的放大倍數是有理由的

2-2 隱藏於金字塔的「黃金比例」與東京晴空塔的「白銀比例」

第3章　使用「方程式」就不會陷入思考陷阱

3-1「打折」跟「回饋點數」相似卻大不相同

3-2別用直覺回答容易錯的陷阱題，要用方程式來思考

3-3你真的了解房屋貸款的支付總額怎麼算嗎？

Column天才「高斯少年」是使用「方程式」能手

第4章　判斷最佳組合的「二次函數」

4-1為何獨棟房子大多是「箱型」（正方形）呢？

4-2計算「BMI」的方法跟二次函數的「最佳決策問題」相同

4-3煙火的殘像就像「拋物線」。

4-4重考補習班的拋物面天線和電暖器的共通點是？

4-5用一次函數表示「空走距離」，用二次函數表示「煞車距離」

4-6頻繁變換車道的「搖擺駕駛」行為最糟糕！

Column新幹線的「KODAMA」及「HIKARI」速度並不慢

第5章　「指數」、「對數」能讓極大極小數字做比較

5-1讓「約600000000000000000000000」一目了然的表現方式

5-2「千(kilo)」、「厘(centi)」、「毫(milli)」等常用單位也藏有指數

5-3利用「指數函數」就能拍到「都沒人閉眼的團體照」

5-4只要用「方程式」就能拆穿「老鼠會」騙局

5-5報紙對折「100次」會有多厚？

5-6地震「規模8」和「規模9」差很多

5-7沒乾透的衣物散發的「臭味」，就算除去了90%還是聞得到

5-8正中央「LA」的頻率如果是440Hz，高八度的「LA」就是880Hz

5-9「一等星」的亮度約是「六等星」的100倍

Column為何數字乘以「0次方」會變成「1」呢？

第6章　人類難以處理，機器卻得心應手的「二進位」

6-1《勇者鬥惡龍》的角色為何上限是「255」呢？

6-2常見的「條碼」也隱藏著二進位法

6-3滋露巧克力變大，價格變成20日幣的理由

6-4常用於獨棟別墅樓梯的「三向開關」也應用了二進位法

第7章　不只能表示方向，同時也能顯示大小的「向量」是可以計算的

7-1向量用於想正確表示「方向」的時候

7-2「航標燈」是能指引船隻航行在安全「海路」的向量

7-3逆流而上的小艇速度可用向量的加法算出

7-4「機車的平衡」要靠兩種向量來決定

Column似是而非的「乘方」與「指數」

第8章　用極小數字來除的「微分」，和乘以極小數字的「積分」

8-1想知道「瞬間速度」就使用微分

8-2我們走在微分過的地表「切線上」

8-3乘以極小數的「乘法」是積分的基本

 Column為什麼微分與積分「相反」呢？

第9章　正確使用就能預測未來的「機率、統計」

9-1以統計來看毫無根據的「花瓣占卜」

9-2（模擬）花「1億日圓」買樂透

9-3公寓大廈的「最受歡迎的銷售價格範圍」是「眾數(mode)」

9-4為何「開票率1%」，選舉速報也說「確定當選」？

9-5為何不是「變異數」或「離均差」，而是使用「標準差」呢？

9-6使用「卜瓦松分配」可算出「成為人氣偶像的機率」

9-7找出「年收入1億日圓以上的人才」與「10年難得一見的美女」

9-8「平均值」與客機座位全部指定的關係匪淺

9-9電視節目收視率是從所有收視戶的「樣本」算出來的

 

結語

參考文獻

書籍代號:0ELG0124

商品條碼EAN:9789863598176

ISBN:9789863598176

印刷:套色

頁數:192

裝訂:膠裝